Hitung integral ∫ (2x + 3)(x² + 3x + 1)² dx.
💬 Jawaban
Hasil integralnya adalah (x² + 3x + 1)^3/3 + C.
📖 Penjelasan
Gunakan metode substitusi karena bagian dalam: x² + 3x + 1 memiliki turunan: 2x + 3
Misalkan:
u = x² + 3x + 1
Turunkan:
du = (2x + 3) dx
Soal: ∫ (2x + 3)(x² + 3x + 1)² dx
Karena:
(2x + 3) dx = du
Maka: ∫ u² du
Gunakan aturan integral pangkat: ∫ u² du
= u³/3
Kembalikan u:
= (x² + 3x + 1)^3/3 + C
💡 Tips
Untuk soal integral bentuk komposisi, jangan terburu-buru mengembangkan kuadrat atau pangkat yang ada di dalam kurung. Periksa terlebih dahulu apakah terdapat pola fungsi dan turunannya. Pada soal ini, turunan dari x² + 3x + 1 tepat sama dengan 2x + 3 yang berada di depan. Karena itu substitusi jauh lebih cepat daripada mengalikan semua bentuk polinomial.
Tahap yang dapat digunakan:
- Cari bagian dalam kurung.
- Jadikan bagian tersebut sebagai u.
- Cari turunannya.
- Cocokkan dengan faktor yang tersedia.
- Ubah integral menjadi integral dalam u.
- Gunakan aturan pangkat.
- Kembalikan u ke bentuk x.
📝 Catatan
Pengecekan jawaban: d/dx [(x²+3x+1)^3/3]
= 3(x²+3x+1)^2 × (2x+3) / 3 = (2x+3)(x²+3x+1)^2.
Hasil turunan sama persis dengan soal awal, sehingga jawaban benar. Dalam soal integral seperti ini, pengecekan dengan turunan merupakan salah satu cara paling aman untuk memastikan tidak ada kesalahan perhitungan.