Hitung nilai limit lim x→3 (x⁴ - 81)/(x - 3).
💬 Jawaban
Nilai limitnya adalah 108.
📖 Penjelasan
Substitusi langsung: (3⁴ - 81)/(3 - 3)
= (81 - 81)/0 = 0/0
Kita faktorkan secara bertahap.
Pertama: x⁴ - 81
= x⁴ - 9²
Gunakan selisih kuadrat:
= (x² - 9)(x² + 9)
Kemudian: x² - 9
= (x - 3)(x + 3)
Sehingga: x⁴ - 81
= (x - 3)(x + 3)(x² + 9)
Maka: [(x - 3)(x + 3)(x² + 9)]/(x - 3)
Sederhanakan:
= (x + 3)(x² + 9)
Substitusi x = 3: = (3 + 3)(3² + 9) = (6)(9 + 9) = 6 × 18 = 108
Perkalian dapat ditampilkan:
18
× 6
------
108Jadi:
lim x→3 (x⁴ - 81)/(x - 3) = 108
💡 Tips
Untuk pangkat empat, jangan langsung mencari faktor yang rumit. Gunakan pemfaktoran bertahap.
Langkah pertama: x⁴ - 81
= (x²)² - 9²
Kemudian:
= (x² - 9)(x² + 9)
Masih terdapat bentuk selisih kuadrat pada x² - 9: x² - 9
= (x - 3)(x + 3)
Dengan demikian faktor yang sama dengan penyebut berhasil ditemukan.
Lakukan perhitungan akhir secara bertahap: (3 + 3)(3² + 9)
= 6(9 + 9) = 6(18) = 108
📝 Catatan
Soal ini merupakan contoh bahwa pemfaktoran dapat dilakukan lebih dari satu tahap. Jangan berhenti setelah mendapatkan (x² - 9)(x² + 9), karena faktor x - 3 masih tersembunyi di dalam x² - 9.
Pastikan setiap tahap diperiksa kembali: (x - 3)(x + 3)
= x² - 3x + 3x - 9 = x² - 9
Kemudian: (x² - 9)(x² + 9)
= x⁴ + 9x² - 9x² - 81 = x⁴ - 81
Dengan demikian pemfaktoran benar dan hasil limit adalah 108.