Tentukan nilai (sin 60° + cos 60°)².
💬 Jawaban
Diketahui:
sin 60° = √3/2 cos 60° = 1/2
Maka:
(√3/2 + 1/2)²
= ((√3 + 1)/2)² = (√3 + 1)²/4
Gunakan:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Maka:
(√3 + 1)²
= (√3)² + 2(√3)(1) + 1² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3
Sehingga:
(4 + 2√3)/4
= 4/4 + 2√3/4 = 1 + √3/2
Jadi, hasilnya adalah 1 + √3/2.
📖 Penjelasan
Soal ini menggabungkan nilai sudut istimewa, operasi pecahan, kuadrat bentuk aljabar, dan penyederhanaan akar. Karena seluruh jumlah berada di dalam tanda kurung dan kemudian dikuadratkan, kita harus mengkuadratkan seluruh bentuk tersebut.
Langkah-langkah:
- Tentukan nilai sin 60°.
sin 60° = √3/2
- Tentukan nilai cos 60°.
cos 60° = 1/2
- Masukkan ke dalam soal:
(√3/2 + 1/2)²
- Samakan penyebut:
= ((√3 + 1)/2)²
- Kuadratkan pembilang:
(√3 + 1)²
- Gunakan rumus:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
- Hitung masing-masing bagian:
(√3)² = 3 2(√3)(1) = 2√3 1² = 1
- Jumlahkan:
3 + 2√3 + 1
= 4 + 2√3
- Bagi dengan 4:
(4 + 2√3)/4
- Pisahkan:
4/4 + 2√3/4
- Sederhanakan:
= 1 + √3/2
- Jika ingin bentuk desimal, gunakan √3 ≈ 1,732:
√3/2 ≈ 1,732/2
= 0,866
Sehingga:
1 + 0,866
= 1,866
Jadi, nilai eksaknya adalah:
1 + √3/2
dan nilai pendekatannya sekitar:
1,866.
💡 Tips
Untuk soal trigonometri yang memiliki kuadrat pada suatu penjumlahan, jangan mengkuadratkan setiap suku secara terpisah tanpa memperhatikan suku tengah. Ingat rumus:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Suku 2ab sangat penting. Kesalahan yang sering terjadi adalah menulis (a + b)² = a² + b², padahal rumus tersebut tidak benar.
📝 Catatan
Dalam soal matematika SMA, bentuk akar biasanya dipertahankan sebagai bentuk eksak. Jadi 1 + √3/2 lebih tepat daripada langsung menggunakan angka desimal 1,866, kecuali soal meminta nilai pendekatan.