Matematika SMA
Pertanyaan
Hitung nilai limit lim x→2 (x³ - 3x² + 4)/(x - 2).
💬 Jawaban
Limit tidak memiliki nilai hingga karena pembilang mendekati 2 sedangkan penyebut mendekati 0.
📖 Penjelasan
Substitusi x = 2 pada pembilang:
2³ - 3(2²) + 4
= 8 - 3(4) + 4 = 8 - 12 + 4 = 0
Ternyata menghasilkan 0/0, sehingga kita perlu memeriksa faktorisasi.
Polinom: x³ - 3x² + 4
Karena x = 2 merupakan akar, kita dapat membagi polinom dengan (x - 2).
Pembagian polinom: x² - x - 2
----------------
x - 2 ) x³ - 3x² + 0x + 4 x³ - 2x²
------------
-x² + 0x -x² + 2x
-----------
-2x + 4 -2x + 4
--------
0Jadi: x³ - 3x² + 4
= (x - 2)(x² - x - 2)
Kemudian: x² - x - 2
= (x - 2)(x + 1)
Sehingga: x³ - 3x² + 4
= (x - 2)²(x + 1)
Pecahan: [(x - 2)²(x + 1)]/(x - 2)
= (x - 2)(x + 1)
Substitusi x = 2: = 0(3) = 0
Jadi limitnya adalah 0.
💡 Tips
Jika bentuk polinom sulit difaktorkan langsung, pembagian polinom dapat digunakan. Setelah mengetahui bahwa x = a merupakan akar, polinom dapat dibagi dengan (x - a).
Pada pembagian:
x³ ÷ x = x²
Kemudian: x²(x - 2)
= x³ - 2x²
Kurangkan: (x³ - 3x²) - (x³ - 2x²)
= -x²
Lanjutkan sampai sisa pembagian menjadi nol.
📝 Catatan
Soal ini menunjukkan bahwa pembagian polinom secara bersusun dapat digunakan untuk menemukan faktor. Hasil akhirnya adalah 0 karena masih terdapat faktor (x - 2) setelah penyederhanaan pertama.